Question

15．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A、B，点A、B的坐标分别是（-1，0）、（4，0），与y轴交于点C，点P在第一、二象限的抛物线上，过点P作x轴的平行线分别交y轴和直线BC于点D、E，设点P的横坐标为m，线段DE的长度为d．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）当点P在第一象限时，求d与m之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当PE=2DE时，求m的值；
（4）如图②，过点E作EF∥y轴交x轴于点F，直接写出四边形ODEF的周长不变时m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据待定系数法，可得BC的解析式，根据E点的纵坐标，可得E点的横坐标，根据两点间的距离，可得答案；
（3）根据PE与DE的关系，可得关于m的方程，根据解方程根据解方程，可得答案；
（4）根据周长公式，可得答案．

解答 解：（1）由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{-（-1）^{2}-b+c=0}\\{-{4}^{2}+4b+c=0}\end{array}\right.$                                      
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$
∴这条抛物线对应的函数表达式是y=-x²+3x+4；                   
（2）当x=0时，y=4．
∴点C的坐标是（0，4）．
设直线BC的函数关系式为y=kx+b．
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴直线BC的函数关系式为y=-x+4，
∵PD∥x轴，
∴y_P=y_E=-m²+3m+4．．
∴x_E=-m²+3m．
图①，
当0＜m＜3时，如图①，d=-m²+3m．

当3＜m＜4时，如图②，d=m²-3m．
（3）当0＜m＜3时，DE=-m²+3m，PE=-m²+4m．
∵PE=2DE，
∴-m²+4m=2（-m²+3m）．
解得m₁=0（不合题意，舍去），m₂=2．
当3＜m＜4时，DE=m²-3m，PE=-m²+4m．
∵PE=2DE，
∴-m²+4m=2（m²-3m）．
解得m₁=0（不合题意，舍去），m₂=$\frac{10}{3}$．
当PE=2DE时，m=2或m=$\frac{10}{3}$．
（4）-1＜m＜0或3＜m＜4．
解答如下：当0＜m＜3时，如图③，DE=-m²+3m，EF=-m²+3m+4．
∴C=2（-m²+3m+4-m²+3m）=-4m²+12m+8．

当-1＜m＜0或3＜m＜4时，如图④、⑤，
DE=m²-3m，EF=-m²+3m+4．
∴C=2（-m²+3m+4+m²-3m）=8．
综上所述：四边形ODEF的周长不变时m的取值范围是-1＜m＜0或3＜m＜4．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行于x轴直线上点的纵坐标相等得出E点的纵坐标是解题关键；利用PE与DE的关系得出关于m的方程是解题关键；利用矩形的周长公式是解题关键．