Question

19．如图，长方形ABCD在坐标平面内，点A的坐标是A（2，1），且边AB、CD与x轴平行，边AD、BC与y轴平行，点B、C的坐标分别为B（a，1），C（a，c），且a、c满足关系式．c=$\sqrt{a-6}$+$\sqrt{6-a}$+3
（1）求B、C、D三点的坐标；
（2）怎样平移，才能使A点与原点重合？平移后点B、C、D的对应点分别为B₁C₁D₁，求四边形OB₁C₁D₁的面积；
（3）平移后在x轴上是否存在点P，使S_△COP=S_四边形OB₁C₁D₁？若存在这样的点P，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据被开方数非负数列式求出a，然后求出c，即可得到点B、C的坐标，再根据矩形的性质，点D的横坐标与点A的横坐标相同，纵坐标与点C的纵坐标相同；
（2）根据点A的坐标确定出平移规律，然后依次写出B₁、C₁、D₁的坐标，最后根据矩形的面积公式列式计算即可得解；
（3）根据三角形的面积公式列式求出OP，再分点P在点O的左边与右边两种情况求解．

解答 解：（1）由题意得，a-6≥0且6-a≥0，
所以，a≥6且a≤6，
所以，a=6，
c=3，
所以，点B（6，1），C（6，3），
∵长方形ABCD的边AB、CD与x轴平行，边AD、BC与x轴平行，
∴点D（2，3）；

（2）∵平移后A点与原点重合，
∴平移规律为向左2个单位，向下1个单位，
∴B₁（4，0），C₁（4，2），D₁（0，2），
四边形OB₁C₁D₁的面积=4×2=8；

（3）平移后点C到x轴的距离为3，
∵S_△COP=S_四边形OB₁C₁D₁，
∴$\frac{1}{2}$×OP×3=4×2，
解得OP=$\frac{16}{3}$，
若点P在点O的左边，则点P的坐标为（-$\frac{16}{3}$，0），
若点P在点O的右边，则点P的坐标为（$\frac{16}{3}$，0）．
综上所述，存在点P（-$\frac{16}{3}$，0）或（$\frac{16}{3}$，0）．

点评 本题平移的性质，坐标与图形性质，三角形的面积，①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，要注意（3）分两种情况讨论．