Question

10．如图，AB为⊙O的直径，AB=10，弦AC=6，∠ACB的外角平分线交⊙O于点D，求CD的长．

Answer 1

分析 过点D作DE⊥AC于点E，由于∠ACB的外角平分线交⊙O于点D，从而可知∠DAB=DBA=45°，所以△DAB是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出AD的长度，设ED=x，利用勾股定理可列出方程求出x的值．

解答 解：过点D作DE⊥AC于点E，
∵∠ACB的外角平分线交⊙O于点D，
∴∠ECD=∠DCB=45°，
∵∠ECD=∠DBA，∠DCB=∠DAB
∴∠DAB=DBA=45°，
∴△DAB是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵AB=10，
∴由勾股定理可知：AD=BD=5$\sqrt{2}$，
设ED=x，
∵∠ECD=45°，∠DEC=90°，
∴CE=ED=x
在Rt△AED中，
由勾股定理可知：AD²=AE²+ED²，
∴50=（x+6）²+x²，
∴解得：x=7或x=-1（舍去）
∴由勾股定理可知：CE=$\sqrt{2}$ED=7$\sqrt{2}$

点评 本题考查圆的综合问题，解题的关键是利用圆内接四边形的性质以及圆周角定理可知∠DAB=DBA=45°，再根据勾股定理列出方程求出ED的长度，本题属于中等题型．