Question

1．如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°，然后根据“SAS”证明△ABE≌△ACF，于是根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得DF=AF=2，DF∥AB，再利用平行线的性质得∠1=∠BAC=45°，则可判断△ACF为等腰直角三角形，所以CF=$\sqrt{2}$AF=2$\sqrt{2}$，然后计算CF-DF即可．

解答 （1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，
∴AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠BAC+∠3=∠EAF+∠3，即∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF，
∴BE=CF；
（2）解：∵四边形ABDF为菱形，
∴DF=AF=2，DF∥AB，
∴∠1=∠BAC=45°，
∴△ACF为等腰直角三角形，
∴CF=$\sqrt{2}$AF=2$\sqrt{2}$，
∴CD=CF-DF=2$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．