Question

4．（1）如图1，将直角的顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上，使角的一边交CD于点F，另一边交CB货其延长线于点G，求证：EF=EG．
（2）如图2，将（1）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变，若AB=m、BC=n，求$\frac{EF}{EG}$的值．
（3）如图3，将直角顶点E放在矩形ABCD的对角线交点，EF、EG分别交CD、CB于点F、G，且EC平分∠FEG．若AB=6，BC=10，求EG、EF的长．

Answer 1

分析 （1）作EH⊥BC于H，EI⊥CD于I，证明△GEH≌△FEI，根据全等三角形的性质证明；
（2）证明△GEH∽△FEI，△CEH∽△CAB，根据相似三角形的性质计算；
（3）作GM⊥EC于M，FN⊥EC于N，根据相似三角形的性质、等腰直角三角形的性质计算．

解答 （1）证明：如图1，作EH⊥BC于H，EI⊥CD于I，
∵∠GEF=90°，∠HEI=90°，
∴∠GEH=∠FEI，
∵CA平分∠BCD，EH⊥BC，EI⊥CD，
∴EH=EI，
在△GEH和△FEI中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GEH=∠FEI}\\{EH=EI}\\{∠GHE=∠FIE}\end{array}\right.$，
∴△GEH≌△FEI，
∴EF=EG；
（2）如图2，作EH⊥BC于H，EI⊥CD于I，
∵∠GEF=90°，∠HEI=90°，
∴∠GEH=∠FEI，
∴△GEH∽△FEI，
∴$\frac{EF}{EG}$=$\frac{EI}{EH}$，
∵EH⊥BC，EI⊥CD，∠BCD=90°，
∴四边形EHCI是矩形，
∴EI=HC，
∵EH⊥BC，∠ABC=90°，
∴EH∥AB，
∴△CEH∽△CAB，
∴$\frac{CH}{EH}$=$\frac{CB}{AB}$=$\frac{n}{m}$，
∴$\frac{EF}{EG}$=$\frac{n}{m}$；
（3）作GM⊥EC于M，FN⊥EC于N，
∵EC平分∠FEG，
∴∠GEC=45°，
设ME=MG=x，
∵GM⊥EC，∠ABC=90°，
∴△CMG∽△CBA，
∴$\frac{MC}{MG}$=$\frac{CB}{AB}$=$\frac{5}{3}$，
∴MC=$\frac{5}{3}$x，
∴EC=$\frac{8}{3}$x，
由勾股定理得，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{34}$，
∴EC=$\frac{\sqrt{34}}{2}$，即$\frac{8}{3}$x=$\sqrt{34}$，
解得，x=$\frac{3\sqrt{34}}{8}$，
∴EG=$\frac{3\sqrt{17}}{4}$，EF=$\frac{5\sqrt{17}}{4}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．