Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，E为CD的中点，作EG⊥CD交CB的延长线于点G，连AG，在GE上取点F使GF=GA，CF=AD，
（1）求证：∠GFC=∠GAD；
（2）若∠GFC=120°，GB=2

3

，求GF的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接GD，根据E为DC的中点，GF⊥CD得到GF垂直平分CD，从而得到GD=GC，然后证得△DAG≌△CFG，从而得到∠GFC=∠GAD；
（2））根据∠GFC=120°，得到∠GAD=120°，然后利用AD∥GC，得到∠AGB=60°，从而根据GB=2

3

得到AG=4

3

，最后得到GF=AG=4

3

．

解答：解：（1）连接GD，
∵E为DC的中点，GF⊥CD，
∴GF垂直平分CD，
∴GD=GC，
在△DAG和△CFG中，

DA=CF AG=BC GD=GC

，
∴△DAG≌△CFG（SSS），
∴∠GFC=∠GAD；

（2）∵∠GFC=120°，
∴∠GAD=120°，
∵AD∥GC，
∴∠AGB=60°，
∵GB=2

3

，
∴AG=4

3

，
∴GF=AG=4

3

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是构造全等三角形并正确的利用判定定理进行证明，难度不大．