Question

1．课本上有这样一道题目：
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上，且CE=CA．
（1）求∠DAE的度数；
（2）如果把题目中“AB=AC”的条件舍去，其余条件不变，那么∠DAE的度数是否改变吗，并说明理由；
（3）如果把题目中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系，并说明理由？

Answer 1

分析 （1）由于AB=AC，∠BAC=90°，从而求出∠B=∠ACB=45°，又因为BD=BA，可知∠BAD=∠BDA=67.5°，因为CE=CA，可知∠CAE=∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB=22.5°，最后可求出得∠DAE=∠BAE-∠BAD=45°．
（2）可设∠CAE=x，从而可知∠E=x，∠ACB=2x，∠B=90°-∠ACB=90°-2x，然后可求出∠BAD=∠BDA=x+45°，∠BAE=90°+x，所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=（90°+x）-（x+45°）=45°，
（3）可设∠CAE=x，∠BAD=y，则∠B=180°-2y，∠E=∠CAE=x，从而可知∠BAE=2y-x，∠DAE=y-x，∠BAC=2y-2x，所以可知∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，

解答 解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）=67.5°，
∵CE=CA
∴∠CAE=∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB=22.5°，
∴∠BAE=180°-∠B-∠E=112.5°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=45°，
（2）不改变
设∠CAE=x，则∠E=x，∠ACB=2x，
∵∠B=90°-∠ACB=90°-2x，
∴∠BAD=∠BDA=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）=x+45°，
∠BAE=180°-∠B-∠E=90°+x，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=（90°+x）-（x+45°）=45°，
（3）∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，
理由：设∠CAE=x，∠BAD=y，
则∠B=180°-2y，∠E=∠CAE=x，
∴∠BAE=180°-∠B-∠E=2y-x，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=2y-x-y=y-x，
∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，

点评 本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质分别求出各角的度数，然后利用度数计算的方法求出∠DAE与∠BAC的关系，本题属于中等题型．