Question

如图，点P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线y=

1

2

x，直线y=-x交于A，B两点，以AB为边向右侧作正方形ABCD．有下列五个结论：
①∠AOB=90°；②△AOB是等腰三角形；③OP²=2AP•PB；④S_△AOB=3S_△AOP；⑤当t=2时，正方形ABCD的周长是16．
其中正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：①由两条垂直直线的斜率的积等于-1即可判定①∠AOB=90°故选项错误；
②根据等腰三角形的判定定理即可判定②△AOB是等腰三角形，故选项错误；
③由直线的斜率可知

AP

OP

=

1

2

，

OP

PB

=1，根据2（

AP

OP

）=

OP

PB

，即可求得OP²=2AP•PB，故选项正确；
④设A（m，

1

2

m），则B（m，-m），得出△AOP的面积=

1

2

OP•

1

2

m=

1

4

m•OP，△BOP的面积=

1

2

OP•m=

1

2

m•OP，从而求得S_△BOP=2S_△AOP，进而得出S_△AOB=3S_△AOP，故选项正确；
⑤t=2时根据直线的解析式先求得PA=1、PB=2，进而求得AB=3，所以正方形的周长=12，故选项错误；

解答：解：①由直线y=

1

2

x，直线y=-x可知，它们的斜率的积=-

1

2

≠-1，所以∠AOB≠90°，故∠AOB=90°错误；
②∵AB⊥x轴，∠AOP≠∠BOP，∠AOB≠90°
∴OA≠OB，OB≠AB，OA≠AB，
∴△AOB不是等腰三角形，故△AOB是等腰三角形；
③由直线的斜率可知：

AP

OP

=

1

2

，

OP

PB

=1，
∴2（

AP

OP

）=

OP

PB

，
∴OP²=2AP•PB，故OP²=2AP•PB正确；
④设A（m，

1

2

m），则B（m，-m），
∵△AOP的面积=

1

2

OP•

1

2

m=

1

4

m•OP，△BOP的面积=

1

2

OP•m=

1

2

m•OP，
∴S_△BOP=2S_△AOP，
∴S_△AOB=3S_△AOP，
故S_△AOB=3S_△AOP正确；
⑤t=2时，PA=

1

2

×2=1，
PB=|-1×2|=2，
∴AB=PA+PB=1+2=3，
∴正方形ABCD的周长=4AB=4×3=12；故当t=2时，正方形ABCD的周长是16错误；
故答案为③④．

点评：本题考查了直线斜率的特点，等腰三角形的判定，直角三角函数的意义，三角形的面积的求法，正方形的周长等，③OP²=2AP•PB的求得是本题的难点．