Question

12．如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AD边于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE，垂足为F
（1）猜想线段BF与图中现有的哪一条线段相等，并加以证明．
（2）求证：FE=ED．

Answer 1

分析 （1）结论：BF=AE．只要证明△AEB≌△FBC，即可解决问题．
（2）连接EC，只要证明Rt△CEF≌Rt△CED，即可．

解答 （1）解：结论：BF=AE．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=∠BFC=90°，AE∥CB，
∴∠AEB=∠CBF，
在△AEB和△FBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BFC}\\{∠AEB=∠CBF}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△FBC，
∴AE=BF．

（2）证明：连接EC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠D=∠CFE=90°
∵△AEB≌△FBC，
∴AB=CF，
∵AB=CD，
在Rt△CEF和Rt△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CE}\\{CF=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△CEF≌Rt△CED，
∴EF=ED．

点评 本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．