在平面直角坐标系内.点O为坐标原点.点A在x轴上.点C.D在y轴上.AB⊥x轴.BC⊥y轴.且B.OD=5.连接AD交于BC于点E．(1)求点E的坐标,(2)点P从点A出发.以2个单位/秒的速度沿折线A→O→D向终点D匀速运动.连接PB.设点P的运动时间为t秒.△PAB的面积为S.求S与t的函数关系式.并直接写出自变量t的取值范围,的条件下.在点P运动过程中.t为何� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C，D在y轴上，AB⊥x轴，BC⊥y轴，且B（10，3），OD=5，连接AD交于BC于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿折线A→O→D向终点D匀速运动，连接PB，设点P的运动时间为t秒，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在点P运动过程中，t为何值时，AD将△PAB的面积分别相等的两部分？请求出t的值，并直接写出此时PB所在直线的解析式．

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）由矩形ABCO，利用矩形的性质得到CE与OA平行，由两直线平行得到两对同位角相等，利用两对角相等的两三角形相似得到三角形DCE与三角形DOA相似，由相似得比例求出CE的长，再由E与B纵坐标相同，即可确定出E的坐标；
（2）分两种情况考虑：当P在OA上运动时三角形ABP为直角三角形，由速度乘以时间表示出AP的长，利用三角形面积公式列出S关于t的关系式即可；当P在OD上运动时，三角形ABP面积以AB为底，高为BC，表示出S与t的关系式即可；
（3）如图所示，当EP与OA垂直，即四边形ABEP为矩形时，AD将△PAB的面积分别相等的两部分，此时EB=AP，即可求出此时t的值，确定出P的坐标，设直线PB解析式为y=kx+b，将P与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线PB的解析式．

解答：

解：（1）∵矩形ABCO，
∴CE∥OA，
∴∠DCE=∠DOA，∠DEC=∠DAO，
∴△DCE∽△DOA，
∴

，
∵B（10，3），OD=5，
∴BC=OA=10，AB=OC=3，DC=OD-OC=5-3=2，
∴

，即CE=4，
则E坐标为（4，3）；
（2）分两种情况考虑：
当P在OA上运动时，如图1所示，
∵AB=3，PA=2t，
∴S_△ABP=

AB•AP=

×3×2t=3t，（0≤t≤5）；
当P在OD上运动时，如图2所示，
∵AB=3，BC=10，
∴S_△ABP=

×3×10=15，（5＜t≤7.5）；
（3）过E作EP⊥OA，交OA于点P，连接PB，与AE交于Q点，如图3所示，
∵∠EPA=∠ABE=∠BAP=90°，
∴四边形ABEP为矩形，
∴Q为PB的中点，即BQ=PQ，AP=BE=2t，
∴S_△ABQ=S_△APQ（等底同高的三角形面积相等），
即AD将△PAB的面积分别相等的两部分，
∵CE=4，BC=10，
∴AP=BE=10-4=6=2t，即t=3，
则在点P运动过程中，t为3秒时，AD将△PAB的面积分别相等的两部分；
∵OP=CE=4，∴P（4，0），
设直线PB解析式为y=kx+b，
将P与B坐标代入得：

10k+b=3

4k+b=0

，
解得：

b=-2

，
则此时直线PB解析式为y=

x-2．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，利用了分类讨论及数形结合的思想，是一道动点问题的探究题．