Question

16．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在直线y=x上．

Answer 1

分析 作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，只要证明PE=PF即可解决问题．

解答 解：作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，则四边形PEOF是矩形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EPF=∠APB=90°，PB=PA，
∴∠EPA=∠FPB，∵∠PEA=∩PFB，
∴△PEA≌△PFB，
∴PE=PF，
∴∠POE=∠POF，
∴无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在直线y=x上．

点评 本题考查的是一次函数综合题，涉及到全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及正方形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．