Question

1．如图，点P为线段AB上的一点，分别以点AP，BP构造等边三角形，连接AD和BC交于点Q，AD与PC交于点M，BC与PD交与点N．
（1）求证：AD=BC，并求出AD与BC的夹角∠DQB的大小．
（2）猜想PM与PN的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）首先根据ASA证明△APD≌△CPB，证明∠PBC=∠PDA，利用三角形的外角的性质即可证得；
（2）首先证明△PBN≌△PDM，证明PM=PN．

解答 解：（1）∵△APC与△PBD为等边三角形，
∴∠APC=∠BPD=60°，AP=PC，PB=PD，
∴∠APD=∠CPB，
在△APD和CPB中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=CP}\\{∠APD=∠CPB}\\{PD=PB}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CPB，
∴∠PBC=∠PDA，
∴∠DQB=∠DAB+∠ABQ=∠DAB+∠ADP=∠DPB=60°；
（2）∵△APD≌△CPB．
∴∠PBN=∠PDM，
又∵△APC和△PBD都是等边三角形，且点A、P、B在同一条直线上，
∴∠CPD=180°-∠APC-∠BPD=60°=∠BPD，
在△PBN和△PDM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PBC=∠PDM}\\{PB=PD}\\{∠CPD=∠BPD}\end{array}\right.$，
∴△PBN≌△PDM（ASA），
∴PM=PN．

点评 本题考查的是等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．