Question

已知如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于D，交AC于E．过D点作⊙O的切线FG交AC于F，交AB的延长线于G，连接AD．若AB：BG=3：1，FG⊥AC．
（1）求证：AD平分∠CAB；
（2）若GD=4，求BD；
（3）求AE：EF：FC．

Answer 1

考点：切线的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,三角形中位线定理,圆周角定理

专题：几何综合题

分析：（1）因为GF是⊙O的切线，D为切点，得到OD⊥GF，可以得到∠ODA=∠DAC，又∠ODA=∠OAD而证明AD平分∠CAB．
（2）由切割线定理可以求出AB，BG，再利用三角形相似可以求出BD：AD的比值，最后利用勾股定理在Rt△ABD中求出BD的长．
（3）证明了AD平分∠BAC，而AD⊥BC，可以证明BD=CD，又GF⊥AC得GF∥BE，得F为EC的中点，从而求出AE：EF：FC的值．

解答：（1）证明：∵GF是切线，
∴OD⊥GF
∴∠ODF=90°即∠ODA+∠ADF=90°
∵GF⊥AC
∴∠AFG=90°即∠ADF+∠DAC=90°
∴∠ODA=∠DAC
∵∠ODA=∠OAD
∴∠DAC=∠ODA
∴AD平分∠CAB；

（2）解：∵GD是⊙O的切线，由切割线定理得：
GD²=GB•GA
∵AB：BG=3：1，设AB=3x，则BG=x，
∴AG=4x
∴4²=4x•x
解得：x=2
∴GB=2，AB=6
∵△GBD∽△GDA
∴

BD

AD

=

GB

GD

=

2

4

=

1

2

设BD=y，AD=2y，在Rt△ABD中由勾股定理得：
y²+（2y）²=6²
解得：y=

6 5

5

，即DB=

6 5

5

．

（3）解：∵BE∥GF
∴

AE

EF

=

AB

BG

=

6

2

，设AE=6K，EF=2K
∵AD平分∠CAB，AD⊥BC，可以证明△ABD≌△ACD
∴BD=CD，∵BE∥GF
∴EF=FC
∴FC=2K
∴AE：EF：FC=6K：2K：2K
∴AE：EF：FC=3：1：1．

点评：本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，圆周角定理，平行线等分线段定理等知识点．