Question

3．已知二次函数y=a（x+l）（x-3）与x轴交于A．B两点（点A在
点B的左边）．与y轴交于点C（0．-3），连结AC，BC．
（1）求二次函数解析式；
（2）求ABC的面枳；
（3）设点P是抛物线上的一点，且位于笫四象限内，连结BP，CP，试问当P点坐标为多少时，△BCP 的面积最大？

Answer 1

分析 （1）将点C（0．-3）代入抛物线的解析式求得a的值，从而可得到抛物线的解析式；
（2）将x=0代入抛物线的解析式得到点C的坐标，从而得到OC的长，令y=0可求得点A、B的坐标，于是可求得AB的长，最后依据三角形的面积公式可求得△ABC的面积；
（3）过点P作直线PE交BC于点E．先求得直线BC的解析式，设点P的坐标为（x，x²-2x-3），则点E（x，x-3），然后可求得PE的长（用含x的代数式表示），最后得到△CBP与x的函数关系是，从而可求得当△BCP面积最大时，点E的坐标．

解答 解：（1）∵将点C（0．-3）代入抛物线的解析式得：-3a=-3，解得：a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x-3），即y=x²-2x-3．
（2）∵将x=0代入得：y-3，
∴C（0，-3）．
∴OC=3．
∵令y=0得：（x+1）（x-3）=0，解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0）、B（3，0）．
∴AB=4．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×4×3=6．
（3）如图所示：过点P作直线PE交BC于点E．

设直线BC的解析式为y=kx-3．
∵将B（3，0）代入得：3k-3=0，解得：k=1，
∴直线BC的解析式为y=x-3．
设点P的坐标为（x，x²-2x-3），则点E（x，x-3）．
∴EP=（x-3）-（x²-2x-3）=-x²+3x．
∴S_△CBP=$\frac{1}{2}$EP•OB=-$\frac{3}{2}$（x²-3x）=-$\frac{3}{2}$（x²-3x+$\frac{9}{4}$-$\frac{9}{4}$）=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$．
∴当x=$\frac{3}{2}$时，△BCP面积的最大值为$\frac{27}{8}$．
∵当x=$\frac{3}{2}$时，y=-$\frac{15}{4}$．
∴P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、抛物线与坐标轴的交点、三角形的面积公式、配方法求二次函数的最值，得到△CBP的面积与x的函数关系式是解题的关键．