Question

某合作学习小组对问题“一条定直线上的动点与直线外同侧两定点所连线段的夹角的最大值”进行了探索．
（1）如图1，点A、B是定直线CD外同侧的两个定点，E是CD上一点，且经过A、B、E的⊙O恰好与直线CD相切，点P是直线CD上不与点E重合的任意一点，连接AE、BE、AP、BP，求证：∠AEB＞∠APB；
（2）由（1）可得：若直线上存在某个点，经过这个点和两定点的圆恰好与这条直线相切，则这个点与两定点所连线段所构成的角最大．请利用这个结论解决以下问题：
①如图2，直线l与AB平行，且平行线间的距离为

3

，AB=2，P是直线l上的一个动点，求∠APB的最大值；
②如图3，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（5，0），直线l经过点C（-1，2），点P是直线l上的动点，若∠APB的最大值为45°，求直线l的解析式．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）设AP与⊙O交于点F，连接BF，根据圆周角定理可知∠AEB=∠AFB，再由三角形外角的性质可得∠AFB＞∠APB，由此可得出结论；
（2）经过A、B作⊙O，⊙O与l相切于点P，连接PA，PB，此时∠APB的值最大，连接PO并延长PO交AB于点C，由切线的性质可知OP⊥l，根据l∥AB可得PC=

3

，AC=

1

2

AB=l，AP=AB，同理可得PA=AB，故△PAB是等边三角形，由此可得出结论；
（3）过点A，B作⊙D，使⊙D与直线l相切于点P，连接PA，PB，此时∠APB的值最大，即∠APB=45°，连接DA，DB，DP，则∠ADB=2∠APB=90°，故可得出△DAB是等腰直角三角形．根据A，B，C三点的坐标可求出⊙D的半径，由此可得出CD的长，所以CD∥x轴．根据⊙D与直线l相切可知∠DPC=90°．再根据PC两点的坐标即可得出直线l的解析式．

解答：解：（1）如图1，设AP与⊙O交于点F，连接BF，
∵∠AEB=∠AFB，∠AFB＞∠APB，
∴∠AEB＞∠APB．

（2）如图2，经过A、B作⊙O，⊙O与l相切于点P，连接PA，PB，此时∠APB的值最大．
连接PO并延长PO交AB于点C，
∵⊙O与l相切，
∴OP⊥l，
∵l∥AB，
∴PC=

3

，AC=

1

2

AB=l，
∴AP=AB=2，
同理，PA=AB，
∴△PAB是等边三角形，
∴∠APB的最大值是60°．

（3）如图3，过点A，B作⊙D，使⊙D与直线l相切于点P，连接PA，PB，此时∠APB的值最大，即∠APB=45°．
连接DA，DB，DP，则∠ADB=2∠APB=90°，
∴△DAB是等腰直角三角形．
∵A（1，0），B（5，0），C（3，2），
∴⊙D的半径为2

2

．
∵C（-1，2），D（3，2），
∴CD=4，CD∥x轴．
∵⊙D与直线l相切，
∴∠DPC=90°．
在Rt△PAB中，
∵CD=4，DP=2

2

，
∴∠PCD=45°，
∴PC=PD．
∵∠CPA=∠DPA=45°，
∴PA⊥CD，
∴PA⊥x轴，
∴P、D、B三点共线，
∴P（1，4）．
∵C（-1，2），
∴直线l的解析式为y=x+3．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定等知识，难度较大．