Question

5．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接OC、OA、AC．
（1）如图①，求∠OCA的度数；
（2）如图②，连接OB、OB与AC相交于点E，若∠COB=90°，OC=2$\sqrt{3}$，求BC的长和阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABCD是⊙O的内接四边形得到∠ABC+∠D=180°，根据∠ABC=2∠D得到∠D+2∠D=180°，从而求得∠D=60°，最后根据OA=OC得到∠OAC=∠OCA=30°；
（2）由∠COB为直角，然后利用S_阴影=S_扇形OBC-S_△OEC求解．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠D=180°，
∵∠ABC=2∠D，
∴∠D+2∠D=180°，
∴∠D=60°，
∴∠AOC=2∠D=120°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°；

（2）∵∠COB=3∠AOB，
∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，
∴∠AOB=30°，
∴∠COB=∠AOC-∠AOB=90°，
在Rt△OCE中，OC=2$\sqrt{3}$，
∴OE=OC•tan∠OCE=2$\sqrt{3}$•tan30°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2，
∴S_△OEC=$\frac{1}{2}$OE•OC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_扇形OBC=$\frac{90π×（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=3π，
∴S_阴影=S_扇形OBC-S_△OEC=3π-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了扇形面积的计算，圆内接四边形的性质，解直角三角形的知识，在求不规则的阴影部分的面积时常常转化为几个规则几何图形的面积的和或差．