Question

20．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°；用直尺和圆规作图 （保留作图痕迹）：
（1）在CB上画出点D，使点D到AC、AB的距离相等．
（2）在AB上找出点C关于BD的对称点E，连接DE．
（3）若AC=6cm，CB=8cm，求线段CD的长．

Answer 1

分析 （1）作∠BAC的平分线交BC于D，则点D满足条件；
（2）过点D作DE⊥AB于E，则点D与点E关于AD对称；
（3）利用角平分线的性质定理得到DC=DE，设CD=xcm，则DE=xcm，BD=（8-x）cm，先利用勾股定理计算出AB=10，然后证明Rt△BDE∽Rt△BAC，再利用相似比求出x即可．

解答 解：（1）如图，点D为所作；
（2）如图，点E为所作；

（3）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DC=DE，
设CD=xcm，则DE=xcm，BD=（8-x）cm，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵∠DBE=∠ABC，
∴Rt△BDE∽Rt△BAC，
∴$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BD}{BA}$，即$\frac{x}{6}$=$\frac{8-x}{10}$，解得x=3，
即CD的长为3cm．

点评 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．