Question

7．四边形ABCD满足AB=CD，AC=BD，试通过画图来探究，四边形ABCD会是怎样的形状？

Answer 1

分析 四边形ABCD是等腰梯形，画出图形，利用三角形全等的判定与等腰三角形的性质解决问题即可．

解答 解：四边形ABCD是等腰梯形．
如图，

假定AC与BD交于O点，
在△ABC和△DCB中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AC=BD}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠DBC=∠ACB，∠DCB=∠ABC，
∴OB=OC，∠DBA=∠ACD
又∵AC=BD，
∴OA=OD，∠CAD=∠BDA，
即△OAD和△OCD是两个顶角是对顶角的等腰三角形
所以∠DBA=∠ACB=∠CAD=∠BDA，
∵∠DBC=∠BDA，
∴AD平行BC，AB不平行于CD，
所以四边形ABCD是梯形
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD为等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）．

点评 此题考查等腰梯形的判定，三角形全等的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，结合图形灵活解决问题．