Question

11．在△ABC中，已知AB=5，CA=7，BC=6，H为垂心，则AH=$\frac{19\sqrt{6}}{12}$．

Answer 1

分析 设AE=x，BD=y，则EC=7-x，DC=6-y，在Rt△ABE和Rt△BCE中利用勾股定理建立等式解出x的值，在Rt△ABD和Rt△ADC中，利用勾股定理建立等式解出y的值，在Rt△ABD中求出AD的值，然后利用△AHE∽△ACD，得出$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AH}{AC}$，这样即可解出AH的长度．

解答 解：设AE=x，BD=y，则EC=7-x，DC=6-y，
在Rt△ABE和Rt△BCE中，AB²-AE²=BC²-EC²，即25-x²=36-（7-x）²，
解得：x=$\frac{19}{7}$；
在Rt△ABD和Rt△ADC中，AB²-BD²=AC²-DC²，即25-y²=49-（6-y）²，
解得：y=1；
在Rt△ABD中，AB²-BD²=AD²，
∴AD=2$\sqrt{6}$；
又∵△AHE∽△ACD，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AH}{AC}$，即$\frac{\frac{19}{7}}{2\sqrt{6}}$=$\frac{AH}{7}$，
解得：AH=$\frac{19\sqrt{6}}{12}$．
故答案为：$\frac{19\sqrt{6}}{12}$．

点评 此题考查了三角形的垂心的知识及相似三角形的性质，多次利用了勾股定理，解答本题的关键是利用勾股定理建立等式，分别得出AE、BD、AD的长度，难度较大．