Question

17．如图，P是⊙O的切线FA上的点，点A为切点，连接OP，OP的垂直平分线FE交OA于点E，连接EP，过点P作PC⊥EP
（1）已知OA=8，AP=4，求OE的长
（2）求证：PC与⊙O相切．

Answer 1

分析 （1）由AP是⊙O的切线，得到∠OAP=90°，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）过O作OG⊥PC于G，根据余角的性质得到∠OPE+∠OPC=90°=∠AOP+∠OPA，等量代换得到∠OPC=∠OPA，推出△AOP≌△GOP，根据全等三角形的性质得到OG=OA，即可得到结论．

解答 （1）解：∵AP是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴PE²-AE²=AP²，
∵OA=8，AP=4，
∵OP的垂直平分线FE交OA于点E，
∴OE=PE，
∴OE²-（8-OE）²=4²，
∴OE=5；

（2）证明：过O作OG⊥PC于G，
∵CE垂直平分OP，
∴∠AOP=∠OPE，
∴∠OPE+∠OPC=90°=∠AOP+∠OPA，
∴∠OPC=∠OPA，
在△AOP与△POG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAP=∠OGP=90°}\\{∠OPG=∠OPA}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△GOP（AAS），
∴OG=OA，
∴PC与⊙O相切．

点评 本题考查了切线的判定和性质．全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形的是解题的关键．