Question

18．如图，四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAC=2∠BDC，若∠BAC=m°，求∠CAD的度数．

Answer 1

分析 如图延长BA到M，延长BC到N．设∠DBA=∠DBC=z，∠BAC=n，∠BDC=m，∠ACD=x，∠DCN=y．只要证明x=y，推出CD是∠ACN的外角平分线，由BD平分∠ABC，即可推出AD是∠CAM的平分线，由此即可解决问题．

解答 解：如图延长BA到M，延长BC到N．设∠DBA=∠DBC=z，∠BAC=n，∠BDC=m，∠ACD=x，∠DCN=y．

由三角形的外角的性质可知$\left\{\begin{array}{l}{n=2m}&{①}\\{x+y=2z+n}&{②}\\{y=z+m}&{③}\end{array}\right.$
②-③×2得到：x+y-2y=0，
∴x=y，
∴CD是∠ACN的外角平分线，
∵BD平分∠ABC，
∴AD是∠CAM的平分线，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=90°-$\frac{1}{2}$m°．

点评 本题考查三角形的外角的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程组解决问题，题目比较难．