Question

18．四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=BC，AD=7，tanA=2，求CD的长．

Answer 1

分析 延长AD交BC的延长线于点E，根据∠D=∠B=90°，得到∠EDC=90°，∠DCE=∠A，由tanA=2，求得tan∠ECD=tanA=$\frac{DE}{CD}=\frac{BE}{AB}$=2，推出CE=AB=BC，设CD=x，则DE=2x，根据勾股定理得到AB=BC=CE=$\sqrt{D{E}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，BE=2$\sqrt{5}$x，然后再根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：延长AD交BC的延长线于点E，
∵∠B=∠D=90°，
∴∠EDC=90°，∠DCE=∠A，
∵tanA=2，
∴tan∠ECD=tanA=$\frac{DE}{CD}=\frac{BE}{AB}$=2，
∵AB=BC，
∴CE=AB=BC，
设CD=x，则DE=2x，
∴AB=BC=CE=$\sqrt{D{E}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∴BE=2$\sqrt{5}$x，
∵AB²+BE²=AE²，
即（$\sqrt{5}$x）²+（2$\sqrt{5}$x）²=（7+2x）²，
解得：x=$\frac{7}{3}$（负值舍去），
∴CD的长是$\frac{7}{3}$．

点评 本题考查的是解直角三角形，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．