Question

3．如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象和一次函数y=ax+b的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出不等式ax+b-$\frac{k}{x}$＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）先把B（2，-4）代入y=$\frac{k}{x}$得到k=-8，再把A（-4，n）代入y=-$\frac{8}{x}$可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先求出直线y=-x-2与x轴交点C的坐标，然后利用S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC进行计算；
（3）观察函数图象得到当x＜-4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，即使ax+b-$\frac{k}{x}$＜0．

解答 解：（1）把B（2，-4）代入y=$\frac{k}{x}$的得m=2×（-4）=-8，
所以反比例函数解析式为y=-$\frac{8}{x}$，
把A（-4，n）代入y=-$\frac{8}{x}$得-4n=-8，解得n=2，
把A（-4，2）和B（2，-4）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=2}\\{2k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
所以一次函数的解析式为y=-x-2；

（2）直线y=-x-2与x轴交于点C（-2，0），
S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×4=6；

（3）不等式kx+b-$\frac{k}{x}$＜0的解集为-4＜x＜0或x＞2；
故答案为：-4＜x＜0或x＞2．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了观察函数图象的能力以及用待定系数法确定一次函数的解析式．