Question

9．在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线交对角AC于点F，联结BE、BF，求∠EBF．

Answer 1

分析 过F作GH∥BC，分别交AD、CB于点G、H，则∠BHF=∠FGE=90°，BH=AG，由线段垂直平分线的性质得出EF=BF，由正方形的性质得出△AGF是等腰直角三角形，得出FG=AG，因此BH=FG，由HL证明Rt△BHF≌Rt△FGE，得出∠HBF=∠GFE，由角的互余关系得出∠BFE=90°，即可得出结果．

解答 解：过F作GH∥BC，分别交AD、CB于点G、H，如图所示：
则∠BHF=∠FGE=90°，BH=AG，
∵MF是BE的垂直平分线，
∴EF=BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FAG=45°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴FG=AG，
∴BH=FG，
在Rt△BHF和Rt△FGE中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=EF}\\{BH=FG}\end{array}\right.$，
∴Rt△BHF≌Rt△FGE（HL），
∴∠HBF=∠GFE，
∵∠HBF+∠HFB=90°，
∴∠GFE+∠HFB=90°，
∴∠BFE=90°，
∵BE=EF，
∴∠EBF=∠FEB=45°．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．