Question

如图，已知△ABC，AC=BC=6，∠C=90°，O是AB的中点，⊙O与AC相切于点D，与BC相切于点E，设⊙O交OB于F，连DF并延长交CB的延长线于G．
（1）求∠ADG的度数；
（2）求由DG、GE和

ED

所围成图形的面积（阴影部分）

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连接OD，由AC为圆O的切线，根据切线的性质得到OD与AC垂直，又AC=BC，且∠C=90°，得到三角形ABC为等腰直角三角形，得到∠A=45°，所以∠CDG的度数，进而求出∠ADG的度数；
（2）阴影部分的面积=直角三角形CDG的面积-（正方形的面积-扇形ODE的面积）．根据等腰直角三角形的性质可求出有关边AB、OD的长，以及圆心角∠DOE的度数．进而可根据扇形的面积和直角三角形的面积求得阴影部分的面积．

解答：解：（1）连接OD．
∵CD切⊙O于点D，
∴∠ODA=90°，∠DOA=45°，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD=

1

2

∠DOA=22.5°，
∴∠CDG=∠CDO-∠ODF=90°-22.5°=67.5°，
∴∠ADG=180°-∠CDG=112.5°；
（2）连OE，
∵⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E，
∴DC=CE，OD⊥AC，OE⊥BC，
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE为正方形，
∵AO=BO=

1

2

AB=

1

2

AC2+BC2

=3

2

，
∴OD=

1

2

BC=

1

2

×6=3，
∵∠BFG=∠BGF，
∴BG=BF=OB-OF=3

2

-3；
从而CG=CB+BG=3+3

2

；
∴S_阴影=S_△DCG-S_{正方形ODCE}+S_扇形ODE
=S_△DCG-（S_{正方形ODCE}-S_扇形ODE）
=

1

2

×3×（3+3

2

）-（3²-

1

4

π•3²）
=

9π

4

+

9 2

2

-

9

2

．

点评：此题考查了切圆的综合知识．在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直”．圆与相似三角形，及三角函数相融合的解答题、与切线有关的性质与判定有关的证明题是近几年中考的热点，故要求学生把所学知识融汇贯穿，灵活运用．