Question

已知，如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，DE⊥AB交BC于F，交AC的延长线于E，求证：
（1）△ADE∽△FDB；  
（2）CD²=DE•DF．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）利用∠ACE=∠EDB和∠DBF=∠CEF，即可得出△ADE∽△FDB；
（2）由△ADE∽△FDB，可得

DE

DB

=

DA

DF

，再由CD是Rt△ABC斜边上的中线，得出DA=DB=CD，即可得出CD²=DE•DF．

解答：解：（1）∵DE⊥AB，△ABC是RT△，
∴∠ACB=∠EDB=90°，
∵∠DFB=∠CFE，
∴∠DBF=∠CEF，
∴△ADE∽△FDB；
（2）∵△ADE∽△FDB，
∴

DE

DB

=

DA

DF

∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴DA=DB=CD，
∴

DE

CD

=

CD

DF

，
∴CD²=DE•DF．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是运用直角三角形斜边中线的性质．