Question

4．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠B=30°，以点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C′的位置，且使A′B′经过点A．
（1）求∠ACA′的度数，判断△ACA′的形状；
（2）求线段AC与线段AB的数量关系．

Answer 1

分析 （1）证明∠BAC=60°；证明AC=A′C，得到∠A′=∠A′AC=60°，求出∠ACA′=60°；
（2）由△ABC≌△A′B′C′得到∠A′CB=∠ACB=90°，求得∠B′=∠B=30°，由（1）知：∠ACA′=60°，得到AC=AB′，于是得到结论．

解答 解：（1）如图，∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC，∠BAC=60°；
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠A′=∠BAC=60°，AC=A′C，
∴∠A′=∠A′AC=60°，
∴∠ACA′=180°-120°=60°，
∴△ACA′是等边三角形；
（2）∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠A′CB=∠ACB=90°，
∠B′=∠B=30°，
A′B′=AB，
由（1）知：∠ACA′=60°，
∴∠ACB′=30°，
∴AC=AB′，
∴AB=A′B′=AA′+AB′=2AC=2AC．

点评 该题主要考查了旋转变换的性质、等腰三角形的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质、等腰三角形的性质等来分析、判断、解答．