Question

6．如图，已知△ABC，点D在边BC上，点E在边AC上，点F在边AB上，且DE∥D₁E₁，EF∥E₁F₁，DF∥D₁F₁．求证：S_△DEF•S_△D1E1F1=S²_△ABC．

Answer 1

分析 根据平行线的性质和位似变换的概念得到△DEF与△D₁E₁F₁是位似图形，设△DEF与△D₁E₁F₁的相似比为$\frac{1}{k}$，△DEF的面积为1，表示出△D₁E₁F₁面积，根据相似三角形的对应高的比等于相似比得到$\frac{OS}{OS+BT}$=$\frac{DF}{{D}_{1}{F}_{1}}$=$\frac{1}{k}$，结合图形解答即可．

解答 证明：∵DE∥D₁E₁，EF∥E₁F₁，DF∥D₁F₁，
∴△DEF与△D₁E₁F₁是位似图形，即△DEF∽△D₁E₁F₁，
∴E₁E、F₁F、D₁D的延长线相交于点O，
作OS⊥DF于S，BT⊥DF于T，
设△DEF与△D₁E₁F₁的相似比为$\frac{1}{k}$，△DEF的面积为1，
则△D₁E₁F₁的面积为k²，
∴S_△DEF•S_△D1E₁F₁=k²，
∵DF∥D₁F₁，
∴△OFD∽△OF₁D₁，
∴$\frac{OS}{OS+BT}$=$\frac{DF}{{D}_{1}{F}_{1}}$=$\frac{1}{k}$，
∴$\frac{{S}_{△OFD}}{{S}_{四边形OFBD}}$=$\frac{1}{k}$，
同理，$\frac{{S}_{△ODE}}{{S}_{四边形ODCE}}$=$\frac{1}{k}$，$\frac{{S}_{△OEF}}{{S}_{四边形OEAF}}$=$\frac{1}{k}$，
∴$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{k}$，
∴S_△ABC=k，
∴S_△DEF•S_△D1E1F1=S²_△ABC．

点评 本题考查的是三角形的面积及等积变换，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、位似变换的性质是解题的关键．