Question

16．如图，抛物线y=ax²+bx-5与x轴交于A（-2，0）、B（5，0）两点，与y交于点C，点P（m，n）为x轴下方抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P分别作x轴、y轴的垂线，D、E为垂足，用含有m的代数式表示四边形OEPD的周长l，并求出周长l的最大值；
（3）作直线BC、OP，两直线交于点Q，试问是否存在点P，使得△QOC是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数即可求解；
（2）根据P在抛物线上，则可用m表示出n，则四边形的周长即可求解；
（3）首先求得线段BC的解析式，即可得到△OBC是等腰直角三角形，然后分OC是底边，CQ是底边和OQ是底边三种情况进行讨论，即可求解．

解答 解：（1）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-5=0}\\{25a+5b-5=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
则抛物线的解析式是：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-5；

（2）P（m，n）在抛物线上，则n=$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-5，
则l=2m-2（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-5），即l=-m²+5m+10=-（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{65}{4}$．
l≤$\frac{65}{4}$，即l的最大值为$\frac{65}{4}$．

（3）在y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-5中，令x=0，解得y=-5，则C的坐标是（0，-5），则OC=OB=5．
设线段BC的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
则线段BC的解析式是y=x-5（0＜x＜5）．
当OC时等腰三角形的底边时，即OQ=CQ时，则Q的坐标是-$\frac{5}{2}$，把y=-$\frac{5}{2}$代入y=x-5得：x=$\frac{5}{2}$，则Q的坐标是（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{2}$）；
当CQ是等腰三角形的底边，即OC=OQ时，此时Q和B重合，不符合题意；
当OQ是等腰三角形的底边，即OC=CQ时，CQ=5，且∠OCQ=45°，作QF⊥y轴于点F．
则CF=QF=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，则OF=5-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$=$\frac{10-5\sqrt{2}}{2}$，
则Q的坐标是（$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，$\frac{5\sqrt{2}-10}{2}$）．
总之，Q的坐标是：（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{2}$）或（$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，$\frac{5\sqrt{2}-10}{2}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式以及等腰三角形的讨论，正确进行讨论是本题的关键．