如图①.在平面直角坐标系中.OA=6.以OA为边长作等边三角形ABC.使得BC∥OA.且点B.C落在过原点且开口向下的抛物线上．(1)求这条抛物线的解析式,(2)在图①中.假设一动点P从点B出发.沿折线BAC的方向以每秒2个单位的速度运动.同时另一动点Q从O点出发.沿x轴的负半轴方向以每秒1个单位的速度运动.当点P运动到A点时.P.Q都同时停止运动.在P.Q� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．如图①，在平面直角坐标系中，OA=6，以OA为边长作等边三角形ABC，使得BC∥OA，且点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在图①中，假设一动点P从点B出发，沿折线BAC的方向以每秒2个单位的速度运动，同时另一动点Q从O点出发，沿x轴的负半轴方向以每秒1个单位的速度运动，当点P运动到A点时，P、Q都同时停止运动，在P、Q的运动过程中，是否存在时间t，使得PQ⊥AB，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
（3）在BC边上取两点E、F，使BE=EF=1个单位，试在AB边上找一点G，在抛物线的对称轴上找一点H，使得四边形EGHF的周长最小，并求出周长的最小值．

分析（1）由等边三角形的性质可先求得B、C的坐标，再利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）用t可分别表示出BP、AP和AQ，在Rt△APQ中，可得到AQ=2AP，可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）作E点关于AB的对称点E′，可知E′在OB上，作F关于对称轴的对称点F′，连接E′F′，分别交AB于G，交对称轴于H，则E′F′=EG+GH+HF，此时四边形EGHF的周长最小，过E′、F′分别作x轴的垂线，可分别求得E′、F′的坐标，可求得E′F′的长，可求得四边形EGHF的周长的最小值．

解答解：
（1）如图1，连接OB，分别作BM⊥x轴，CN⊥x轴，垂足分别为M、N，

∵BC∥x轴，△ABC为等边三角形，
∴∠BAO=∠ABC=60°，OA=AB=BC=6，
∴△OAB为等边三角形，
∴OM=$\frac{1}{2}$OA=3，BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB=3$\sqrt{3}$=CN，且ON=OM+MN=OM+BC=9，
∴B（3，3$\sqrt{3}$），C（9，3$\sqrt{3}$），
∵抛物线过原点O，
∴可设抛物线解析式为y=ax²+bx，
把B、C坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=3\sqrt{3}}\\{81a+9b=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{9}}\\{b=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x；
（2）如图2，连接PQ，

由题意可知BP=2t，OQ=t，则AP=6-2t，AQ=6+t，
当PQ⊥AB时，在△APQ中，∠PQA=30°，
∴AQ=2AP，
∴6+t=2（6-2t），解得t=$\frac{6}{5}$，
∴当t的值为$\frac{6}{5}$时，PQ⊥AB；
（3）如图3，作E点关于AB的对称点E′，可知E′在OB上，作F关于对称轴的对称点F′，连接E′F′，分别交AB于G，交对称轴于H，

则EG=E′G，FH=F′H，
由线段最短可知此时EG+GH+FH=E′F′，
则此时的G、H即为满足条件的点，即四边形EGHF的周长最小，
分别过E′，F′，B作x轴的垂线，垂足分别为R、S、T，
由（1）可知BT=F′S=3$\sqrt{3}$，
∵BE=EF=1，
∴BE′=1，则OE′=OB-BE′=5，AS=1，
∴OS=OA+1=7，
∴F点坐标为（7，3$\sqrt{3}$），
在△ORE′中，OR=$\frac{1}{2}$OE′=$\frac{5}{2}$，RE′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OE′=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴E点坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），
∴E′F′=$\sqrt{（7-\frac{5}{2}）^{2}+（3\sqrt{3}-\frac{5\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{21}$，
∵EF=1，
∴四边形EGHF的周长最小值=EF+E′F′=1+$\sqrt{21}$．