Question

9．在?ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，连接AN，CM．
（1）如图①，求证：四边形ANCM是平行四边形；
（2）如图②，连接MN，DN，若∠AND=90°，求证：MN=NC；
（3）如图③，在（2）的条件下，过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，EP=1，且∠1=∠2，求AN的长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形ABCD，得到一组对边间关系，由中点可得到一组对边平行且相等，从而判定四边形ANCM是平行四边形；
（2）可利用直角三角形斜边的中线与斜边的关系，进行证明；
（3）先判定四边形MNCD是平行四边形，再判断其为菱形，利用菱形的性质，判断△MNC为等边三角形，从而求得∠1=∠2=∠MND=30°，在RT△NEP中，利用特殊角，求出EN，进而求出线段AN的长．

解答 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵M，N分别是AD、BC的中点，
∴AM=CN，AM∥CN，
所以四边形ANCM是平行四边形；
（2）证明：∵∠AND=90°，AM=DM，
∴MN=$\frac{1}{2}$AD=MD，
∵MD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC=CN，
∴MN=NC；
（3）解：∵MD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC=CN，MD∥CN
∴四边形MNCD是平行四边形，
由（2）知MN=NC
∴?MNCD是菱形，
∴∠NMC=∠DMC，DN⊥MC，∠DNM=∠DNC，
∵∠1+∠DMC=∠1+∠NMC=∠2+∠ENC=90°，
∴∠NMC=∠MNC，
∴MN=CN=MC，
∴△MCN是等边三角形，
∴∠MND=∠2=∠1=30°，
在RT△NEP中，∵EP=1，
∴NE=$\sqrt{3}$，
所以MN=MC=2$\sqrt{3}$，
∵四边形AMCN是平行四边形，
∴AN=MC=2$\sqrt{3}$．

点评 本题是四边形的综合题，考察了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质、直角三角形的斜边中线与斜边的关系、等边三角形的性质和判定以及相似三角形的性质和判定，利用直角三角形中30°的角所对的直角边与斜边的关系是求解的关键．