Question

16．观察下列一组等式，然后解答后面的问题：
（$\sqrt{2}$+1）（$\sqrt{2}$-1）=1，（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）（$\sqrt{3}$$-\sqrt{2}$）=1，（$\sqrt{4}$+$\sqrt{3}$）（$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$）=1，（$\sqrt{5}$+$\sqrt{4}$）（$\sqrt{5}$-$\sqrt{4}$）=1，…（1）观察上面的规律，计算下列式子的值．
（$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$$+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$$+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2015}}$）（$\sqrt{2016}$+1）
（2）利用上面的规律，试比较$\sqrt{12}$-$\sqrt{11}$与$\sqrt{13}$-$\sqrt{12}$的大小．

Answer 1

分析 （1）根据分母乘以分母中这两个数的差，可分母有理化，根据实数的运算，可得答案；
（2）根据平方差公式，可化成分子相同的数，根据相同的分子，分母越大的数越小，可得答案．

解答 解：（1）原式=（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2016}$-$\sqrt{2015}$）（$\sqrt{2016}$+1）=（$\sqrt{2016}$+1）（$\sqrt{2016}$-1）=2016-1=2015；
（2）$\sqrt{12}$-$\sqrt{11}$=$\frac{（\sqrt{12}-\sqrt{11}）（\sqrt{12}+\sqrt{11}）}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}$=$\frac{12-11}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}$=$\frac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}$，
$\sqrt{13}$-$\sqrt{12}$=$\frac{（\sqrt{13}-\sqrt{12}）（\sqrt{13}+\sqrt{12}）}{\sqrt{13}+\sqrt{12}}$=$\frac{13-12}{\sqrt{13}+\sqrt{12}}$=$\frac{1}{\sqrt{13}+\sqrt{12}}$，
$\sqrt{12}$-$\sqrt{11}$＞$\sqrt{13}$-$\sqrt{12}$．

点评 本题考查了分母有理化，利用平方差公式是分母有理化的方法．