Question

1．如图，过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延长线于点F．在AF上取点M，使得AM=$\frac{1}{3}$AF，连接CM并延长交直线DE于点H．若AC=2，△AMH的面积是$\frac{1}{12}$，则$\frac{1}{tan∠ACH}$的值是8-$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 过点H作HG⊥AC于点G，由于AF平分∠CAE，DE∥BF，∠HAF=∠AFC=∠CAF，从而AC=CF=2，利用△AHM∽△FCM，$\frac{AM}{MF}$=$\frac{AH}{CF}$，从而可求出AH=1，利用△AMH的面积是$\frac{1}{12}$，从而可求出HG，利用勾股定理即可求出CG的长度，所以$\frac{1}{tan∠ACH}$=$\frac{CG}{HG}$．

解答 解：过点H作HG⊥AC于点G，
∵AF平分∠CAE，DE∥BF，
∴∠HAF=∠AFC=∠CAF，
∴AC=CF=2，
∵AM=$\frac{1}{3}$AF，
∴$\frac{AM}{MF}$=$\frac{1}{2}$，
∵DE∥CF，
∴△AHM∽△FCM，
∴$\frac{AM}{MF}$=$\frac{AH}{CF}$，
∴AH=1，
设△AHM中，AH边上的高为m，
△FCM中CF边上的高为n，
∴$\frac{m}{n}$=$\frac{AM}{MF}$=$\frac{1}{2}$，
∵△AMH的面积为：$\frac{1}{12}$，
∴$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{2}$AH•m
∴m=$\frac{1}{6}$，
∴n=$\frac{1}{3}$，
设△AHC的面积为S，
∴$\frac{S}{{S}_{△AHM}}$=$\frac{m+n}{m}$=3，
∴S=3S_△AHM=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$AC•HG=$\frac{1}{4}$，
∴HG=$\frac{1}{4}$，
∴由勾股定理可知：AG=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴CG=AC-AG=2-$\frac{\sqrt{15}}{4}$
∴$\frac{1}{tan∠ACH}$=$\frac{CG}{HG}$=8-$\sqrt{15}$
故答案为：8-$\sqrt{15}$

点评 本题考查相似三角形综合问题，解题的关键是通过相似三角形的性质求出HG、CG、AH长度，本题属于难题．