Question

【题目】如图，锐角，，点是边上的一点，以为边作，使，．

（1）过点作交于点，连接（如图①）

①请直接写出与的数量关系；

②试判断四边形的形状，并证明；

（2）若，过点作交于点，连接（如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①； ② 平行四边形，证明见解析；（2）成立，证明见解析．

【解析】

（1）①根据，两角有公共角，可证；

②连接EB，证明△EAB≌△DAC，可得,再结合平行线的性质和等腰三角形的判定定理可得EF=DC，由此可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形．

（2）根据，可证明△AED和△ABC为等边三角形，再根据ED∥FC结合等边三角形的性质，得出∠AFC=∠BDA，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形．

解：（1）①，理由如下：

∵，，,

∴，

∴；

②证明：如下图，连接EB,

在△EAB和△DAC中

∵

∴△EAB≌△DAC（SAS）

∴,

∵，

∴,

∴，

∵，

∴,

∴,

∴,

∴

∴四边形为平行四边形；

（2）成立；理由如下：
理由如下：

∵，

∴，

∵AE=AD，AB=AC，

∴△AED和△ABC为等边三角形，

∴∠B=60°，∠ADE=60°，AD=ED,

∵ED∥FC，
∴∠EDB=∠FCB，
∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB，
∴∠AFC=∠BDA，

在△ABD和△CAF中，

∴△ABD≌△CAF（AAS），
∴AD=FC，
∵AD=ED，
∴ED=CF，
又∵ED∥CF，
∴四边形EDCF是平行四边形．