题目内容
【题目】一次函数y＝
x的图象如图所示，它与二次函数y＝ax2－4ax＋c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为D．
①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；
②若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．
【答案】（1）点C（2， 
）；（2）①y＝
x2－
x； ②y＝－
x2＋2x＋
．
【解析】试题分析：（1）求得二次函数y＝ax2－4ax＋c对称轴为直线x＝2，把x＝2代入y＝
x求得y=
，即可得点C的坐标；（2）①根据点D与点C关于x轴对称即可得点D的坐标，并且求得CD的长，设A（m， 
m） ，根据S△ACD＝3即可求得m的值，即求得点A的坐标，把A.D的坐标代入y＝ax2－4ax＋c得方程组，解得a、c的值即可得二次函数的表达式.②设A（m， 
m）（m<2），过点A作AE⊥CD于E，则AE＝2－m，CE＝
－
m，
根据勾股定理用m表示出AC的长，根据△ACD的面积等于10可求得m的值，即可得A点的坐标，分两种情况：第一种情况，若a＞0，则点D在点C下方，求点D的坐标；第二种情况，若a＜0，则点D在点C上方，求点D的坐标，分别把A、D的坐标代入y＝ax2－4ax＋c即可求得函数表达式.
试题解析：（1）y＝ax2－4ax＋c＝a（x－2）2－4a＋c．∴二次函数图像的对称轴为直线x＝2．
当x＝2时，y＝
x＝
，∴C（2， 
）．
（2）①∵点D与点C关于x轴对称，∴D（2，－ 
），∴CD＝3.
设A（m， 
m） （m<2），由S△ACD＝3，得
×3×（2－m）＝3，解得m＝0，∴A（0，0）.
由A（0，0）、 D（2，－ 
）得
解得a＝
，c＝0.
∴y＝
x2－
x.
②设A（m， 
m）（m<2），过点A作AE⊥CD于E，则AE＝2－m，CE＝
－
m，
AC＝
＝
（2－m），
∵CD＝AC，∴CD＝
（2－m）.
由S△ACD＝10得
×
（2－m）2＝10，解得m＝－2或m＝6（舍去），∴m＝－2．
∴A（－2，－ 
），CD＝5.
若a＞0，则点D在点C下方，∴D（2，－ 
），
由A（－2，－ 
）、D（2，－ 
）得
解得
∴y＝
x2－
x－3.
若a＜0，则点D在点C上方，∴D（2， 
），
由A（－2，－ 
）、D（2， 
）得
解得
∴y＝－
x2＋2x＋
.
