Question

10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的直线分别交AB，AC的延长线于点E，F，AF⊥EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）小强同学通过探究发现：AF+CF=2AO，请你帮助小强同学证明这一结论．

Answer 1

分析 （1）连接OD，如图，利用平行线的判定证明OD∥AF，加上AF⊥EF，则OD⊥EF，于是根据切线的判定定理可判断EF是⊙O的切线；
（2）连接CD、BD，作DH⊥AB于H，如图，先利用角平分线的性质得到DF=DH，再证明Rt△ADF≌△ADH得到AF=AH，证明Rt△DCF≌Rt△DBH得到CF=BH，所以AF+CF=AH+BH=AB=2OA．

解答 证明：（1）连接OD，如图，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD∥AF，
而AF⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；

（2）连接CD、BD，作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AF，DH⊥AB，
∴DF=DH，
在Rt△ADF和△ADH中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DF=DH}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADF≌△ADH，
∴AF=AH，
∵∠BAD=∠DAC，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴CD=BD，
在Rt△DCF和Rt△DBH中
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{DF=DH}\end{array}\right.$，
∴Rt△DCF≌Rt△DBH，
∴CF=BH，
∴AF+CF=AH+BH=AB=2OA．

点评 本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理和全等三角形的判定与性质．