Question

18．如图，⊙O为等腰△ABC的外接圆，直径AB=12，P为弧$\widehat{BC}$上任意一点（不与B，C重合），直线CP交AB延长线于点Q，⊙O在点P处切线PD交BQ于点D，下列结论正确的是②③④．（写出所有正确结论的序号）
①若∠PAB=30°，则弧$\widehat{BP}$的长为π；②若PD∥BC，则AP平分∠CAB；
③若PB=BD，则PD=6$\sqrt{3}$；④无论点P在弧$\widehat{BC}$上的位置如何变化，CP•CQ为定值．

Answer 1

分析 ①根据∠POB=60°，OB=6，即可求得弧$\widehat{BP}$的长；②根据切线的性质以及垂径定理，即可得到$\widehat{CP}$=$\widehat{BP}$，据此可得AP平分∠CAB；③根据BP=BO=PO=6，可得△BOP是等边三角形，据此即可得出PD=6$\sqrt{3}$；④判定△ACP∽△QCA，即可得到$\frac{CP}{CA}$=$\frac{CA}{CQ}$，即CP•CQ=CA²，据此可得CP•CQ为定值．

解答 解：如图，连接OP，
∵AO=OP，∠PAB=30°，
∴∠POB=60°，
∵AB=12，
∴OB=6，
∴弧$\widehat{BP}$的长为$\frac{60×π×6}{180}$=2π，故①错误；
∵PD是⊙O的切线，
∴OP⊥PD，
∵PD∥BC，
∴OP⊥BC，
∴$\widehat{CP}$=$\widehat{BP}$，
∴∠PAC=∠PAB，
∴AP平分∠CAB，故②正确；
若PB=BD，则∠BPD=∠BDP，
∵OP⊥PD，
∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP，
∴∠BOP=∠BPO，
∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等边三角形，
∴PD=$\sqrt{3}$OP=6$\sqrt{3}$，故③正确；
∵AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC，
又∵∠ABC=∠APC，
∴∠APC=∠BAC，
又∵∠ACP=∠QCA，
∴△ACP∽△QCA，
∴$\frac{CP}{CA}$=$\frac{CA}{CQ}$，即CP•CQ=CA²（定值），故④正确；
故答案为：②③④．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，切线的性质以及弧长公式的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形，解题时注意：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．