Question

（1）如图（1），△ABC为正三角形，点M是BC上任一点，点N是边AC上任一点，且BM=CN，直线AM与BN相交于点Q．∠BQM等于多少度？请说明理由；
（2）如图（2），四边形ABCD为正方形，点M是BC上任一点，点N是边CD上任一点，且BM=CN，直线AM与BN相交于点Q．∠BQM等于多少度？简要说明理由；
（3）如图（3），在正五边形ABCDE中，点M是BC上任一点，点N是边CD上任一点，且BM=CN，直线AM与BN相交于点Q．∠BQM等于多少度？

Answer 1

解：（1）∠BQM=60度．
理由：由条件得△ABM≌△BCN．
∴∠BAM=∠CBN．
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°．
（2）∠BQM=90°．
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°
∵BM=CN，
∴△ABM≌△BCN．
∴∠BAM=∠CBN．∠AMB=∠BNC
∵∠BAM+∠AMB=90°
∴∠CBN+∠AMB=90°
∴∠BQM=90°．
（3）∠BQM=108°．
证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=108°，
∵BM=CN，
∴△ABM≌△BCN．
∴∠BAM=∠CBN．∠AMB=∠BNC
∴∠BAM+∠AMB=72°
∴∠CBN+∠AMB=72°
∴∠BQM=108 °．