Question

5．已知二次函数y=ax²+2$\sqrt{3}$x（a＜0）的图象与x轴交于A（6，0），顶点为B，C为线段AB上一点，BC=2，D为x轴上一动点．若BD=OC，则D的坐标为D（2，0）或（4，0）．

Answer 1

分析 把A（6，0）代入y=ax²+2$\sqrt{3}$x得0=6²a+2$\sqrt{3}$×6，得到y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+2$\sqrt{3}$x，根据抛物线的顶点坐标公式得到B（3，3$\sqrt{3}$），根据两点间的距离公式得到AB=$\sqrt{（6-3）^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=6，过B作BE⊥OA于E，CF⊥OA与F，根据相似三角形的性质得到AF=2，CF=2$\sqrt{3}$，根据两点间的距离公式得到OC=$\sqrt{C{F}^{2}+O{F}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，根据BD=OC，列方程即可得到结论．

解答 解：把A（6，0）代入y=ax²+2$\sqrt{3}$x得0=6²a+2$\sqrt{3}$×6，
∴a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+2$\sqrt{3}$x，
∵顶点为B，
∴B（3，3$\sqrt{3}$），
∴AB=$\sqrt{（6-3）^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=6，
∵BC=2，
∴AC=4，
过B作BE⊥OA于E，CF⊥OA与F，
∴CF∥BE，
∴△ACF∽△ABE，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AF}{AE}$=$\frac{CF}{BE}$，
∴AF=2，CF=2$\sqrt{3}$，
∴OF=4，
∴OC=$\sqrt{C{F}^{2}+O{F}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∵BD=OC，
∴BD=2$\sqrt{7}$，
设D（x，0），
∴BD=$\sqrt{（3-x）^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴x₁=2，x₂=4，
∴D（2，0）或（4，0）．
故答案为：D（2，0）或（4，0）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，相似三角形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求函数的解析式，正确的作出辅助线是解题的关键．