Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE、PF分别交AB、AC于点E、F．给出以下四个结论：

①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF＝S△ABC；

④EF＝AP．上述结论正确的有_____．

Answer 1

【答案】①②

【解析】

①在△APE和△CPF中，根据∠APE=∠CPF，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，证明APE≌△CPF（ASA），可知①正确；②根据①可得△EFP是等腰直角三角形，故②正确；③根据全等三角形面积相等得：S△APE=S△CPF，利用割补法得：S四边形AEPF=S△APC= S△ABC，故③错误；④EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF=PE=AP，在其它位置时EF≠AP，故④错误.

①∵AB=AC，P是BC的中点，∠BAC=90°，

∴AP⊥BC，AP=BC=PC，

∴∠CPF+∠APF=90°，∠BAP=∠C=45°，

∵∠EPF=90°，

∴∠APE+∠APF=90°，

∴∠APE=∠CPF，

在△APE和△CPF中，

∵，

∴△APE≌△CPF（ASA），

∴AE=CF，

故①正确；

②∵△APE≌△CPF，

∴EP=FP，

∴△EFP是等腰直角三角形，

故②正确；

③∵△APE≌△CPF，

∴S△APE=S△CPF，

∴S四边形AEPF=S△APF+S△APE=S△APF+S△CPF=S△APC=S△ABC，

故③错误；

④由等腰直角三角形的性质，EF=PE，

所以，EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF=PE=AP，在其它位置时EF≠AP，

故④错误；

综上所述，正确的结论有：①②

故答案为：①②