题目内容
直线MN与x轴、y轴分别交于点M、N，并且经过第二、三、四象限，与反比例函数y=| k |
| x |
（1）比较大小：S矩形ACOD
（2）求证：①AG•GE=BF•BG；②AM=BN；
（3）若直线AB的解析式为y=-2x-2，且AB=3MN，则k的值为
考点：反比例函数综合题
专题：
分析：（1）根据反比例函数的比例系数的几何意义即可作出判断；
（2）设A的横坐标是a，B的横坐标是b，分别代入y=
，则A的坐标是（a，
），B的坐标是（b，
），利用a、b表示出AG、GE、BF、BG的长，即可证得①；
求得直线AB的解析式，即可求得M的坐标，即可证明CM=BF，即可证得△ACM≌△NFB，根据全等三角形的对应边相等，即可证得；
（3）根据AM=BN，且AB=3MN，可以得到AM=BN=MN，则OF=2ON，OM=BF，在y=-2x-2中，求得M、N的坐标，即可求得B的坐标，代入反比例函数解析式即可求得k的值．
（2）设A的横坐标是a，B的横坐标是b，分别代入y=
| k |
| x |
| k |
| a |
| k |
| b |
求得直线AB的解析式，即可求得M的坐标，即可证明CM=BF，即可证得△ACM≌△NFB，根据全等三角形的对应边相等，即可证得；
（3）根据AM=BN，且AB=3MN，可以得到AM=BN=MN，则OF=2ON，OM=BF，在y=-2x-2中，求得M、N的坐标，即可求得B的坐标，代入反比例函数解析式即可求得k的值．
解答：解：（1）根据反比例函数k的几何意义可得：S矩形ACOD=S矩形BEOF=|k|．
故答案是：=；
（2）①设A的横坐标是a，B的横坐标是b，分别代入y=
，则A的坐标是（a，
），B的坐标是（b，
），
则AG=b-a，GE=
，BF=b，BG=
-
，
则AG•GE=（b-a）•
=
，
BF•BG=b（
-
）=
，
∴AG•GE=BF•BG；
②设过A、B的直线的解析式是y=mx+n，则
，
解得：
，
则函数的解析式是：y=-
x+
，
令y=0，解得：x=a+b，
则M的横坐标是a+b，
∴CM=a+b-a=b，
∴CM=BF，
则△ACM≌△NFB，
∴AM=BN；
（3）∵AM=BN，且AB=3MN，
∴AM=BN=MN，
∴ON=NF，
在y=-2x-2中，令x=0，解得：y=-2，
则ON=2，
令y=0，解得：x=-1，则OM=1，
∴OF=2ON=4，OM=BF=1
∴B的坐标是（1，-4），
把（1，-4）代入y=
中，得：k=-4，
故答案是：-4．
故答案是：=；
（2）①设A的横坐标是a，B的横坐标是b，分别代入y=
| k |
| x |
| k |
| a |
| k |
| b |
则AG=b-a，GE=
| k |
| a |
| k |
| a |
| k |
| b |
则AG•GE=（b-a）•
| k |
| a |
| k(b-a) |
| a |
BF•BG=b（
| k |
| a |
| k |
| b |
| k(b-a) |
| a |
∴AG•GE=BF•BG；
②设过A、B的直线的解析式是y=mx+n，则
|
解得：
|
则函数的解析式是：y=-
| k |
| ab |
| (a+b)k |
| ab |
令y=0，解得：x=a+b，
则M的横坐标是a+b，
∴CM=a+b-a=b，
∴CM=BF，
则△ACM≌△NFB，
∴AM=BN；
（3）∵AM=BN，且AB=3MN，
∴AM=BN=MN，
∴ON=NF，
在y=-2x-2中，令x=0，解得：y=-2，
则ON=2，
令y=0，解得：x=-1，则OM=1，
∴OF=2ON=4，OM=BF=1
∴B的坐标是（1，-4），
把（1，-4）代入y=
| k |
| x |
故答案是：-4．
点评：本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，以及待定系数法求函数解析式，（2）中求直线AB的解析式是本题的关键．
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如图，在△ABC中，E，F，D分别是边AB、AC、BC上的点，且满足| AE |
| EB |
| AF |
| FC |
| 1 |
| 3 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
