Question

8．阅读下面一段对话，回答对话后面的问题：
在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东交流．
原问题：如图1，已知△ABC，D是BC的中点，求证：AB+AC＞2AD
小慧同学的思路是：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，易证△DCE≌△ABD，这样CE=AB，在△AEC中，由两边之和大于第三边，从而证明了不等式，这种构造辅助的方法是：借助过终点的线段，构造全等三角形，使问题得到了转化．
小东同学说：我做过一道类似的题目，也是证明一个不等式，我的题目如下“已知，如图②，△ABC中，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：BE+FC＞EF”，看来我可以类比你所展示的那道题目证明方法，作辅助线，从而证明出结论．
请你参考小慧同学的思路，探究并解决这提出的问题：
（1）请你完整证明出小慧同学所出的原问题．已知在△ABC中，D是BC中点，求证，AB+AC＞2AD
（2）请你参考小慧同学的思路，帮小东同学完成证明过程：已知，如图②，△ABC中，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：BE+FC＞EF．

Answer 1

分析 （1）延长AD到E，使DE=AD，连接CE，易证△DCE≌△ABD，这样CE=AB，在△AEC中，由两边之和大于第三边，从而可证明结论；
（2）延长ED到G，使ED=DG，连接CG，FG，可证明△CGD≌△BED，可得CG=BE，在△CGF中由三角形三边关系可得CF|CG＞FG，又可证明EF=FG，可证得结论．

解答 （1）证明：
如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE，

∵D为BC中点，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}\\{∠ABD=∠CDE}\\{BD=CD}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB，
在△ACE中，由三角形三边关系可得AC+CE＞AE，
∴AB+AC＞2AD；
（2）证明：
如图②，延长ED到G，使ED=DG，连接CG，FG，

∵D为BC的中点，
∴BD=DC，
在△BED和△CGD中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DC}\\{∠EDB=∠CDG}\\{DE=DG}\end{array}\right.$
∴△BED≌△CGD（SAS），
∴CG=BE，
在△CGF中，由三角形三边关系可得CF+CG＞FG，
∴BE+CF＞FG，
又ED⊥DF，
∴FD为EG的垂直平分线，
∴FG=EF，
∴BE+CF＞EF．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，构造全等三角形，把线段转化成三角形的三边是解题的关键．