Question

20．已知等腰△ABC，AB=AC，点D为BC的中点，点E、F、P分别在射线AB，射线AC，射线AD上．

（1）如图1，当点P与点D重合时，PE⊥AB，PF⊥AC，证明：PE=PF；
（2）如图2，当点P与点D重合时，∠EPF+∠BAC=180°，（1）中的结论能否成立？若成立，请说明理由
（3）如图3，当点P在AD延长线上时，∠EPF+∠BAC=180°，（1）中的结论能否成立？若成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质，可得出AD为角平分线，再由角平分线的性质即可得出PE=PF；
（2）在AB上取点G，使AG=AF，连接DG，由等腰三角形的性质证明△AGD≌△AFD就可以得出结论；
（3）在AC上取点G，使AG=AE，连接PG，由等腰三角形的性质证明△AEP≌△AGP就可以得出结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PE=PF；

（2）在AB上取点G，使AG=AF，连接DG，如图1，
∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD．
在△AGD和△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△AFD（SAS），
∴GD=FD，∠AGD=∠AFD．
∵∠BAC+∠AED+∠EDF+∠AFD=360°，且∠EPF+∠BAC=180°，
∴∠AED+∠AFD=180°，
∴∠AED+∠AGD=180°．
∵∠AGD+∠EGD=180°，
∴∠AED=∠EGD，
∴ED=GD，
∴EP=FP；

（3）EP=FP成立
理由：在AC上取点G，使AG=AE，连接PG，如图2，
∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD．
在△AEP和△AGP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△AGP（SAS），
∴EP=GP，∠AEP=∠AGP．
∵∠BAC+∠AEP+∠EPF+∠AFP=360°，且∠EPF+∠BAC=180°，
∴∠AEP+∠AFP=180°，
∴∠AGP+∠AFP=180°．
∵∠AGP+∠FGP=180°，
∴∠AFP=∠EGP，
∴PG=PF，
∴EP=FP．

点评 本题考查了等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．