如图.两条直线AB.CD相交于点O.且∠AOC=∠AOD.射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转.速度为15°/s.射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转.速度为12°/s.运动时间为t秒(0＜t＜12.本题出现的角均小于平角)(1)图中一定有4个直角,当t=2时.∠MON的度数为144°.∠BON的度数为114°,(2)若OE平分∠COM.OF平分∠NOD.当� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC=∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角）
（1）图中一定有4个直角；当t=2时，∠MON的度数为144°，∠BON的度数为114°；
（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；
（3）当射线OM在∠COB内部，且$\frac{7∠COM+2∠BON}{∠MON}$是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值．

分析（1）根据两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC=∠AOD，可得图中一定有4个直角；当t=2时，可求得∠MON的度数和∠BON的度数；
（2）根据OE平分∠COM，OF平分∠NOD，求得∠COE=$\frac{1}{2}$∠COM=$\frac{1}{2}$（15t-90°），∠DOF=$\frac{1}{2}$∠DON=$\frac{1}{2}$×12t，再根据当∠EOF为直角时，∠COE+∠DOF=90°，列出方程$\frac{1}{2}$（15t-90°）=$\frac{1}{2}$×12t，解得t的值为10s；
（3）先判断当射线OM在∠COB内部，∠MON为平角，∠MOB为直角时t的值，再以此分两种情况讨论：当0＜t＜$\frac{10}{3}$时，当$\frac{10}{3}$＜t＜6时，分别计算$\frac{7∠COM+2∠BON}{∠MON}$的值，根据结果作出判断即可．

解答解：（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC=∠AOD，

∴∠AOC=∠AOD=90°，
∴∠BOC=∠BOD=90°，
∴图中一定有4个直角；
当t=2时，∠BOM=30°，∠NON=24°，
∴∠MON=30°+90°+24°=144°，
∠BON=90°+24°=114°；
故答案为：4；144°，114°；

（2）如图所示，∠BOM=15t，∠NON=12t，∠COM=15t-90°，

∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠COM=$\frac{1}{2}$（15t-90°），∠DOF=$\frac{1}{2}$∠DON=$\frac{1}{2}$×12t，
∵当∠EOF为直角时，∠COE+∠DOF=90°，
∴$\frac{1}{2}$（15t-90°）=$\frac{1}{2}$×12t，
解得t=10，
∴当∠EOF为直角时，t的值为10s；

（3）当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，
∴15t+90°+12t=180°，
解得t=$\frac{10}{3}$，
当∠BOM=90°时，15t=90°，
解得t=6，
①如图所示，当0＜t＜$\frac{10}{3}$时，

∠COM=90°-15t，∠BON=90°+12t，
∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t+90°+12t，
∴$\frac{7∠COM+2∠BON}{∠MON}$=$\frac{7（90°-15t）+2（90°+12t）}{15t+90°+12t}$=$\frac{810°-81t}{27t+90°}$，（不是定值）
②如图所示，当$\frac{10}{3}$＜t＜6时，

∠COM=90°-15t，∠BON=90°+12t，
∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DON）=360°-（15t+90°+12t）=270°-27t，
∴$\frac{7∠COM+2∠BON}{∠MON}$=$\frac{7（90°-15t）+2（90°+12t）}{270°-27t}$=$\frac{810°-81t}{270°-27t}$=3，（是定值）
综上所述，当射线OM在∠COB内部，且$\frac{7∠COM+2∠BON}{∠MON}$是定值时，t的取值范围为$\frac{10}{3}$＜t＜6，这个定值是3．

点评本题属于几何变换综合题，主要考查了角的和差关系的计算，解决问题的关键是将相关的角用含t的代数式表示出来，并根据题意列出方程进行求解，以及进行分类讨论，解题时注意方程思想和分类思想的灵活运用．

试题分类