Question

3．如图①，在△ABC中，AB=7，tanA=$\frac{3}{4}$，∠B=45°．点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动（不与点A、B重合），过点P作PQ⊥AB．交折线AC-CB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设点P的运动时间为t（秒），正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位）．
（1）直接写出正方形PQMN的边PQ的长（用含t的代数式表示）．
（2）当点M落在边BC上时，求t的值．
（3）求S与t之间的函数关系式．
（4）如图②，点P运动的同时，点H从点B出发，沿B-A-B的方向做一次往返运动，在B-A上的速度为每秒2个单位长度，在A-B上的速度为每秒4个单位长度，当点H停止运动时，点P也随之停止，连结MH．设MH将正方形PQMN分成的两部分图形面积分别为S₁、S₂（平方单位）（0＜S₁＜S₂），直接写出当S₂≥3S₁时t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分两种情况讨论：当点Q在线段AC上时，当点Q在线段BC上时．
（2）根据AP+PN+NB=AB，列出关于t的方程即可解答；
（3）当0＜t≤$\frac{14}{5}$时，当$\frac{14}{5}$＜t≤4，当4＜t＜7时；
（4）$\frac{28}{15}＜t≤\frac{56}{27}$或$\frac{28}{9}≤t≤\frac{56}{15}$或$5≤t＜\frac{21}{4}$．

解答 解：（1）当点Q在线段AC上时，PQ=tanA•AP=$\frac{3}{4}$t．
当点Q在线段BC上时，PQ=7-t．
（2）当点M落在边BC上时，如图③，

由题意得：t+$\frac{3}{4}$t$+\frac{3}{4}$t=7，
解得：t=$\frac{14}{5}$．
∴当点M落在边BC上时，求t的值为$\frac{14}{5}$．
（3）当0＜t≤$\frac{14}{5}$时，如图④，

S=$（\frac{3}{4}t）^{2}$=$\frac{9}{16}{t}^{2}$．
当$\frac{14}{5}$＜t≤4，如图⑤，

$S=\frac{9}{16}{t}^{2}-\frac{1}{2}（\frac{5}{2}t-7）^{2}$=$-\frac{41}{16}{t}^{2}+\frac{35}{2}t-\frac{49}{2}$．
当4＜t＜7时，如图⑥，

$S=\frac{1}{2}（7-t）^{2}=\frac{1}{2}{t}^{2}-7t+\frac{49}{2}$．
（4）$\frac{28}{15}＜t≤\frac{56}{27}$或$\frac{28}{9}≤t≤\frac{56}{15}$或$5≤t＜\frac{21}{4}$．

点评 本题正方形的性质，属于四边形综合题，解决本题的关键是进行分类讨论思想．