Question

如图，在平面直角坐标系中，以点C（0，3）为圆心，5为半径作圆，交x轴于A，B两点，交y轴正半轴于P点，以点P为顶点的抛物线经过点A、B两点．
（1）求出A，B两点的坐标；
（2）求此抛物线的解析式．

Answer 1

考点：垂径定理,待定系数法求二次函数解析式,勾股定理

专题：

分析：（1）连结AC，由题意得CO=3，AC=5，根据勾股定理求出AO的长，再由对称轴的性质即可得出结论；
（2）根据CP=5得出OP=8，故可得出点P的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式．

解答：解：（1）连结AC，由题意得CO=3，AC=5．
∵CO⊥AO，
∴△ACO是直角三角形且∠ACO是直角，
∴AO=

AC2-CO2

=

52-32

=4．
∵由题意可得y轴是抛物线的对称轴，
∴BO=AO=4．
∴点A坐标为（-4，0），点B的坐标为（4，0）．

（2）∵CP=5，
∴OP=CO+CP=3+5=8，
∴点P的坐标是（ 0，8），
∴可设抛物线解析式为y=ax²+8，
∵抛物线经过点A（-4，0），
∴a（-4）²+8=0
解得a=-

1

2

．
∴该抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+8．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．