Question

【题目】如图，已知AT切圆O于点T，点B在圆O上，且，连接AB并延长交圆O于点C，圆O的半径为2，若AT的长恰好为2．

（1）求证：△BOC是等腰直角三角形；

（2）求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接BT可证△BOT为等边三角形，得BT=2，∠OTB=∠OBT=60°，进而得出△ABT是顶角为30°的等腰三角形，得出∠TBA=75°，根据平角定义得出∠CBO=45°，从而得到结论；

（2）先根据△OBC是等腰直角三角形求出BC，再证明△ABT∽△ATC，求出AB的长，从而可得出AC的长.

（1）连接BT，

∵∠BOT=60°，OB=OT，

∴△BOT是等边三角形，

∴∠OTB=∠OBT=60°，BT=OB=2，

∵AT是⊙O的切线，

∴∠OTA=90°

∴∠BTA=30°

∵AT=2，

∴AT=BT，

∴∠TBA=

∵∠ABT+∠TBO+∠OBC=180°，

∴∠OBC=180°-∠ABT-∠TBO=180°-75°-60°=45°，

∵OB=OC

∴∠OCB=∠OBC=45°，即∠BOC=90°

∴△BOC是等腰直角三角形；

（2）∵△BOC是等腰直角三角形，OB=OC=2，

∴BC=

连接CT，则∠ACT=∠BOT，

由（1）可知，∠ATB=∠BOT，

∴∠ATB=∠ACT

又∠A=∠A

∴△ATB∽△ACT

∴，即

把AT=2，BC=代入，得，

解得，，（不合题意，舍去）

∴．