Question

12．如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD．
（1）求证：BE=AD；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件证明△DAB≌△EBC（ASA），根据全等三角形的对应边相等即可得到AD=BE；
（2）分别证明AD=AE，CE=CE，根据线段垂直平分线的逆定理即可解答；
（3）△DBC是等腰三角形，由△DAB≌△EBC，得到DB=EC，又有△AEC≌△ADC，得到EC=DC，所以DB=DC，即可解答．

解答 解：（1）∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠DBC=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠BCE+∠DBC=90°，
∴∠ABD=∠BCE，
∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠EBC，
在△DAB和△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠BCE}\\{AB=BC}\\{∠DAB=∠EBC}\end{array}\right.$
∴△DAB≌△EBC（ASA）
∴AD=BE
（2）∵E是AB的中点，即AE=BE，
∵BE=AD，
∴AE=AD，
∴点A在ED的垂直平分线上（到角两边相等的点在角的平分线上），
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAC=∠DAC=45°，
在△EAC和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAC=∠DAC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△DAC（SAS）
∴CE=CD，
∴点C在ED的垂直平分线上
∴AC是线段ED的垂直平分线．
（3）△DBC是等腰三角形
∵△DAB≌△EBC，
∴DB=EC
∵△AEC≌△ADC，
∴EC=DC，
∴DB=DC，
∴△DBC是等腰三角形．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等．