Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E（不写画法，保留作图痕迹）；
（2）若CE=3，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）依据线段垂直平分线的作法画出图形即可；
（2）由线段垂直平分线的性质可知AE=EB，从而得到∠A=∠EBA=30°，然后可证明∠CBE=30°，故此AE=BE=2CE．

解答 解：（1）如图1所示：

（2）如图2所示：连接EB．

∵ED是AB的垂直平分线，
∴AE=EB．
∴∠A=∠EBA=30°．
∵∠A=30°，∠C=90°，
∴∠CBA=60°．
∴∠CBE=30°．
∴AE=BE=2CE=2×3=6．
∴AE=6．

点评 本题主要考查的是基本作图、线段垂直平分线的性质、含30°直角三角形的性质，证得∠EBC=30°是解题的关键．