Question

11．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，AE平分∠BED，PE⊥AE交BC于点P，连接PA，以下四个结论：①BE平分∠AEC；②PA⊥BE；③AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB；④PB=2PC．则正确的个数是（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ADE≌△BCE（SAS），进而求出△ABE是等边三角形，再求出△AEP≌△ABP（SSS），进而得出∠EAP=∠PAB=30°，分别的得出AD与AB，PB与PC的数量关系．

解答 解：∵在矩形ABCD中，点E是CD的中点，
∴DE=EC，
在△ADE和△BCE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠D=∠C}\\{DE=EC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE，∠DEA=∠CEB，
∵AE平分∠BED，
∴∠AED=∠AEB，
∴∠AED=∠AEB=∠CEB=60°，
故：①BE平分∠AEC，正确；
可得△ABE是等边三角形，
∴∠DAE=∠EBC=30°，
∵PE⊥AE，
∴∠DEA+∠CEP=90°，
则∠CEP=30°，
故∠PEB=∠EBP=30°，
则EP=BP，
在△AEP和△ABP中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{AP=AP}\\{EP=BP}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△ABP（SSS），
∴∠EAP=∠PAB=30°，
又∵AE=AB，
∴AP⊥BE，故②正确；
∵∠DAE=30°，
∴$\frac{DE}{AD}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴3DE=$\sqrt{3}$AD，
∴AD=$\sqrt{3}$DE，
∴③AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB正确；
∵∠CEP=30°，
∴CP=$\frac{1}{2}$EP，
∵EP=BP，
∴CP=$\frac{1}{2}$BP，
∴④PB=2PC正确．
总上所述：正确的共有4个．
故选：A．

点评 此题主要考查了四边形综合以及全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质和等腰三角形的性质等知识，正确得出△AEP≌△ABP是解题关键．